On cherche à comparer la moyenne μ d'une population à une certaine valeur &mu0 fixée à priori. On veut savoir si le fait que &mu soit différent de &mu0 est dû au hasard ou à, par exemple, la technique employée.
Ce test peut être bilatéral ou unilatéral.
La variable dépendante doit être quantitative.
L'échantillon doit être unique car il s'agit d'un test de conformité.
La taille de l'échantillon doit être ≥ 30.
La condition de normalité de l'échantillon doit être vérifiée.
Exemple :
Pour étudier un lot de fabrication de comprimés, on prélève au hasard 35 comprimés parmis la population des 30 000 comprimés produits et on les pèse. On observe les valeurs de poids en grammes :
On sait que le poids moyen de la production est de 0,83g. Le poids moyen observé dans l'échantillon prélevé est-il compatible avec la valeur moyenne de la production au seuil 95% ?
Le programme nous fournit les données suivantes :
Nous pouvons voir que la pval est < au seuil α donc l'hypothèse de l'égalité des moyennes peut être rejetée. Le poids moyen de l'échantillon de 35 comprimés n'est pas conforme au poids moyen de la production.
Ce faisant, nous introduisons une erreur de première espèce α.
En outre, la condition de normalité est vérifée, ce qui permet de conclure quant au z-test mais qui induit également une erreur β.
Reprenons les données précédentes et supposons un écart-type σ0 connu.
On sait que le poids moyen de la production est de 0,83g et que l'écart-type σ0 = 0,02. Le poids moyen observé dans l'échantillon prélevé est-il compatible avec la valeur moyenne de la production au seuil 95% ?
Le programme nous fournit les données suivantes :
Dans ce cas, la pval est > au seuil α donc l'hypothèse de l'égalité des moyennes ne peut être rejetée. Le poids moyen de l'échantillon de 35 comprimés est conforme au poids moyen de la production.
Ce faisant, nous introduisons une erreur de seconde espèce β qu'il convient de ne pas oublier.
En outre, la condition de normalité est vérifée, ce qui permet de conclure quant au z-test mais qui induit également une erreur β.
Si la condition de normalité n'est pas respectée, on s'orientera vers un test non-paramétrique (pour variable indépendante ordinale) tel que le test des rangs de Wilcoxon de conformité d'une médiane.
Il faudra cependant veiller à nuancer l'interprétation des résultats en prenant en compte qu'un test basé sur les rangs compare la médiane plutôt que la moyenne.